Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m\) có nghiệm

Câu hỏi số 305653:

Vận dụng

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{8}} \right]\)

A. \(0 \le m \le \dfrac{1}{8}\).

B. \( - \dfrac{1}{8} \le m \le \dfrac{1}{8}\).

C. \(m \ge \dfrac{1}{8}\).

D. \( - \dfrac{1}{8} \le m \le 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305653

Phương pháp giải

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2};\,{\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = {\cos ^2}2x + m\)

\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2} + m \Leftrightarrow 8 - 3 + 3\cos 4x = 4 + 4\cos 4x + 8m \Leftrightarrow \cos 4x = 1 - 8m\)

Do \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{8}} \right] \Rightarrow 4x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \cos 4x \le 1\). Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(0 \le 1 - 8m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{1}{8}\).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.