Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m\) có nghiệm

Câu hỏi số 305653:

Vận dụng

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{8}} \right]\)

A. \(0 \le m \le \dfrac{1}{8}\).

B. \( - \dfrac{1}{8} \le m \le \dfrac{1}{8}\).

C. \(m \ge \dfrac{1}{8}\).

D. \( - \dfrac{1}{8} \le m \le 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305653

Phương pháp giải

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2};\,{\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = {\cos ^2}2x + m \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x = {\cos ^2}2x + m\)

\( \Leftrightarrow 1 - \dfrac{3}{4}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2} + m \Leftrightarrow 8 - 3 + 3\cos 4x = 4 + 4\cos 4x + 8m \Leftrightarrow \cos 4x = 1 - 8m\)

Do \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{8}} \right] \Rightarrow 4x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le \cos 4x \le 1\). Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(0 \le 1 - 8m \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le \dfrac{1}{8}\).

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.