Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \((C)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y

Câu hỏi số 305955:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \((C)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \((C)\), biết \(d\) cắt trục hoành tại \(A\)và cắt trục tung tại \(B\)sao cho tam giác \(OAB\)cân tại \(O\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính \(a + b\).

A. \( - 1.\)

B. \( - 2.\)

C. \(0.\)

D. \( - 3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305955

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Giải chi tiết

Do \(\Delta OAB\) cân tại \(O\). Mà \(\angle AOB = 90^\circ \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) taoh với trục \(Ox\) góc \({45^0}\) hoặc góc \({135^0}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có hệ số góc bằng \(1\) hoặc \( - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 1\end{array} \right..\)

Ta có: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \ne - \frac{3}{2}\,\, \Rightarrow \) Hệ số góc của đường thẳng d chỉ có thể là \( - 1 \Rightarrow a = - 1\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} = - 1 \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \left( d \right):y = - 1\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - x\): Loại, do \(y = - x\) cắt 2 trục tọa độ tại điểm duy nhất là \(O\left( {0;0} \right)\)

+) \({x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):y = - 1\left( {x + 2} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - x - 2 \Rightarrow b = - 2\,\, \Rightarrow a + b = - 1 - 2 = - 3\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.