Một để kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi

Câu hỏi số 306617:

Vận dụng

Một để kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học kém môn Tiếng Anh nên làm bài theo cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố "Bình làm đúng k câu", biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính \(k\).

A. \(k = 5\)

B. \(k = 1\)

C. \(k = 25\)

D. \(k = 6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306617

Phương pháp giải

+) Sử dụng quy tắc nhân tính xác suất của biến cố A.

+) Xét khai triển \(1 = {\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)^{25}}\)

+) Giả sử \({A_k} = C_{25}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\) là số hạng lớn nhất trong khai triển trên, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{A_k} > {A_{k - 1}}\\{A_k} > {A_{k + 1}}\end{array} \right.\) tìm \(k \in \mathbb{Z}\).

Giải chi tiết

Do mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng nên xác suất để trả lời đúng 1 câu là \(\dfrac{1}{4}\) và xác suất để trả lời sai 1 câu là \(\dfrac{3}{4}\).

Gọi A là biến cố "Bình làm đúng k câu", xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = C_{25}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\).

Xét khai triển \(1 = {\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \right)^{25}} = \sum\limits_{k = 0}^{25} {C_{25}^k{{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^k}{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^{25 - k}}} \)

Giả sử \({A_k} = C_{25}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\) là số hạng lớn nhất trong khai triển trên ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{A_k} > {A_{k - 1}}\\{A_k} > {A_{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{25}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k - 1}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{k - 1}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{26 - k}}\\C_{25}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k + 1}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{k + 1}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{24 - k}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\dfrac{1}{4} > \dfrac{{25!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {26 - k} \right)!}}\dfrac{3}{4}\\\dfrac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\dfrac{3}{4} > \dfrac{{25!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {24 - k} \right)!}}\dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{k} > \dfrac{3}{{26 - k}}\\\dfrac{3}{{25 - k}} > \dfrac{1}{{k + 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{26 - k - 3k}}{{k\left( {26 - k} \right)}} > 0\\\dfrac{{3k + 3 - 25 + k}}{{\left( {25 - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{4}\\k > \dfrac{{22}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{22}}{4} < k < \dfrac{{26}}{4},\,\,k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 6\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.