Một người muốn làm một chiếc quạt có chu vi là \(80cm\) (hình minh họa dưới). Tìm số đo

Câu hỏi số 306653:

Vận dụng cao

Một người muốn làm một chiếc quạt có chu vi là \(80cm\) (hình minh họa dưới).

Tìm số đo của góc \(\angle AOB\left( {\angle AOB = \alpha } \right)\) sao cho diện tích của chiếc quạt là lớn nhất.

A. \(1\,\,\left( {rad} \right)\)

B. \(2\,\,\left( {rad} \right)\)

C. \(3\,\,\left( {rad} \right)\)

D. \(4\,\,\left( {rad} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306653

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức tính diện tích, chu vi của một cung tròn: với \(\alpha \left( {rad} \right)\) là góc tạo bởi hai bán kính tạo nên hình quạt, ta có công thức tính diện tích, độ dài cung tròn của hình quạt:

\(\begin{array}{l} + )\;S = \frac{{\pi {R^2}\alpha }}{{360}} = \frac{{lR}}{2}\\ + )\;\;l = \frac{{\pi R\alpha }}{{180}}\end{array}\)

Giải chi tiết

Độ dài cung tròn tạo nên hình quạt là chu vi \(l = \frac{{\pi R.\alpha }}{{180}}\)

Suy ra chu vi hình quạt: \(C = 2R + l = 2R + \frac{{\pi R\alpha }}{{180}} = 80\)

\( \Leftrightarrow 360R + \pi R\alpha = 14400 \Leftrightarrow \alpha = \frac{{14400}}{{\pi R}} - \frac{{360}}{\pi }\)

Diện tích của hình quạt là: \({S_{quat}} = \frac{{lR}}{2} = \frac{{\pi {R^2}\alpha }}{{360}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow S = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}\left( {\frac{{14400}}{{\pi R}} - \frac{{360}}{\pi }} \right) = 40R - {R^2} = - {\left( {R - 20} \right)^2} + 400\\ \Rightarrow S \le 400.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow R - 20 = 0 \Leftrightarrow R = 20.\)

\( \Rightarrow \alpha = \frac{{14400}}{{20\pi }} - \frac{{360}}{\pi } = \frac{{360}}{\pi } = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2\;\left( {rad} \right).\)

Vậy \(\angle AOB = 2\;\;\left( {rad} \right).\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link