Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) - {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đánh giá \(P \ge P\left( t \right)\) với \(t = {\log _b}a\) qua bất đẳng thức \(b - \dfrac{1}{4} \le {b^2}\)
Ta có: \({\left( {b - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow {b^2} - b + \dfrac{1}{4} \ge 0,\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right) \Rightarrow b - \dfrac{1}{4} \le {b^2},\forall b \in \left( {\dfrac{1}{4};1} \right)\)
Mà \(\dfrac{1}{4} < a < 1\) nên \({\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) \ge {\log _a}{b^2}\).
Do đó \(P \ge {\log _a}{b^2} - {\log _{\dfrac{a}{b}}}\sqrt b = 2{\log _a}b - \dfrac{1}{2}{\log _{\dfrac{a}{b}}}b = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\log }_b}\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}} - \dfrac{1}{{2\left( {{{\log }_b}a - 1} \right)}}\)
Đặt \({\log _b}a = t\). Do \(b < a < 1\) nên \({\log _b}b > {\log _b}a > {\log _b}1 \Rightarrow 0 < t < 1\)
Suy ra \(P \ge P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) với \(0 < t < 1\).
Xét \(P\left( t \right) = \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{{2\left( {t - 1} \right)}}\) trên \(\left( {0;1} \right)\) ta có: \(P'\left( t \right) = \dfrac{{ - 3{t^2} + 8t - 4}}{{2{t^2}{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3} \in \left( {0;1} \right)\\t = 2 \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy \(P\left( t \right) \ge \dfrac{9}{2}\) suy ra \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left( {0;1} \right)} P\left( t \right) = \dfrac{9}{2}\) khi \(t = \dfrac{2}{3}\).
Do đó \(P \ge P\left( t \right) \Rightarrow P \ge \dfrac{9}{2}\). Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^2} = b - \dfrac{1}{4}\\{\log _b}a = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{1}{2}\\a = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\dfrac{2}{3}}}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{9}{2}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
