Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x +

Câu hỏi số 307115:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) , đường thẳng \((d):y = m(x + {\rm{ }}1)\) với \(m\) là tham số, đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7.\) Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt \(A( - 1;0);{\rm{ }}B;{\rm{ }}C\) sao cho \(B,C\) cùng phía với \(\Delta \) và \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\)

A. \(0\)

B. \(8\)

C. \(5\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307115

Phương pháp giải

+ Viết phương trình hoành độ giao điểm. Phân tích để tách thành các nhân tử. Từ đó lập luận tìm điều kiện của \(m\)để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

+ Tìm tọa độ ba giao điểm \(A,B,C.\)

+ Sử dụng: Nếu B, C nằm cùng phía với đường thẳng \(\left( \Delta \right):\,ax + by + c = 0\) thì \(\left( {a{x_B} + b{y_B} + c} \right)\left( {a{x_C} + b{y_C} + c} \right) > 0\)

+ Sử dụng công thức khoảng cách \(d\left( {M;\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_M} + b{y_M} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) với \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) , từ đó ta tìm được tham số \(m.\) So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 4 = m\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = m\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} - m\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - m} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( { - 1 - 2} \right)^2} \ne m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 9\end{array} \right.\)

Khi đó hoành độ các giao điểm là \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} = m\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \sqrt m + 2\\x = - \sqrt m + 2\end{array} \right.\)

Vì các giao điểm cũng thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có tung độ các giao điểm là

\(x = - 1 \Rightarrow y = m\left( { - 1 + 1} \right) = 0\); \(x = \sqrt m + 2 \Rightarrow y = m\left( {\sqrt m + 2 + 1} \right) = m\sqrt m + 3m\);

\(x = - \sqrt m + 2 \Rightarrow y = m\left( { - \sqrt m + 2 + 1} \right) = - m\sqrt m + 3m\)

Nên tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là \(A\left( { - 1;0} \right);B\left( {\sqrt m + 2;m\sqrt m + 3m} \right);C\left( { - \sqrt m + 2; - m\sqrt m + 3m} \right)\)

Vì B, C nằm cùng phía với \(\left( \Delta \right):y = 2x - 7 \Leftrightarrow y - 2x + 7 = 0\) nên

\(\left( {{y_B} - 2{x_B} + 7} \right)\left( {{y_C} - 2{x_C} + 7} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3} \right)\left( { - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3} \right) > 0\)

Hay \(\left( {m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3} \right);\left( { - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3} \right)\) cùng dấu.

Ta có \(d\left( {B;\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }};d\left( {C;\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l}d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ){\rm{ }} = {\rm{ }}6\sqrt 5 .\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\left| { - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 6\sqrt 5 \end{array}\)

Mà \(\left( {m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3} \right);\left( { - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3} \right)\) cùng dấu, nên

\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{m\sqrt m + 3m - 2\sqrt m + 3}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{ - m\sqrt m + 3m + 2\sqrt m + 3}}{{\sqrt 5 }}} \right| = 6\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow 2m\sqrt m + 2m\) \(\left| {6m + 6} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\m + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = - 6\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 4\) là giá trị cần tìm.

Chú ý khi giải

Các em có thể lập luận : Vì B, C nằm cùng phía với \(\left( \Delta \right)\) nên \(d(B;\Delta ){\rm{ }} + d(C;\Delta ) = 2d\left( {I;\Delta } \right){\rm{ = }}6\sqrt 5 \) với I là trung điểm \(BC.\) Từ đó việc tính toán sẽ đơn giản hơn để tìm ra \(m\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.