Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^23x + {\log _3}x + m - 1 = 0\)

Câu hỏi số 307406:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\log _3^23x + {\log _3}x + m - 1 = 0\) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {0;1} \right).\)

A. \(0 < m < \frac{9}{4}\)

B. \(m > \frac{9}{4}\)

C. \(0 < m < \frac{1}{4}\)

D. \(m > - \frac{9}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307406

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+) Đặt ẩn phụ \(t = {\log _3}x \Rightarrow x = {3^t}\) để giải phương trình. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\;1} \right) \Leftrightarrow \) phương trình ẩn \(t\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;\;3} \right).\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x > 0.\)

Đặt \(t = {\log _3}x \Rightarrow x \in \left( {0;\;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;\;0} \right)\)

Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\log _3^23x + {\log _3}x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}x} \right)^2} + {\log _3}x - 1 = - m\\ \Leftrightarrow \log _3^2x + 3{\log _3}x = - m \Leftrightarrow {t^2} + 3t = - m\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\;1} \right) \Leftrightarrow \) phương trình ẩn \(t\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;\;3} \right).\)

Xét hàm số: \(y = {t^2} + 3t\) trên \(\left( { - \infty ;\;3} \right)\) ta có: \(y' = 2t + 3\)

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}.\)

Ta có BBT:

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;\;0} \right)\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại hai điểm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;0} \right) \Leftrightarrow - \frac{9}{4} < - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.