Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) góc \(\angle BAC = {120^0}\) và \(AB = 4cm.\) Tính thể tích khối tròn

Câu hỏi số 307407:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) góc \(\angle BAC = {120^0}\) và \(AB = 4cm.\) Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác \(ABC\) xung quanh đường thẳng chứa một cạnh của tam giác \(ABC\)

A. \(16\sqrt 3 \pi \)

B. \(\frac{{16\pi }}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\frac{{16\pi }}{3}\)

D. \(16\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307407

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC = {4^2} + {4^2} - {2.4^2}\frac{{ - 1}}{2} = {3.4^2} \Rightarrow BC = 4\sqrt 3 \).

+) Gọi H là trung điểm của BC

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh BC ta được 2 hình nón có chung bán kính đáy AH, đường cao lần lượt là BH và CH với \(AH = AB.\cos {60^0} = 2;\,\,BH = CH = \frac{1}{2}BC = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \).

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH = \frac{1}{3}\pi .A{H^2}\left( {BH + CH} \right)\\\,\,\,\, = \frac{1}{3}.\pi {2^2}.2\sqrt 3 = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

+) Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được khối tròn xoay như sau:

Gọi D là điểm đối xứng C qua AB, H là trung điểm của CD.

Ta có: \(\angle ABC = \frac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC = BC.\sin {30^0} = 4\sqrt 3 .\frac{1}{2} = 2\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\,BH = BC.\cos {30^0} = 4\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\end{array}\)

\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi H{C^2}.BH - \frac{1}{3}\pi H{C^2}.AH = \frac{1}{3}\pi H{C^2}.AB = \frac{1}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}.4 = 16\pi \)

+) Do điểm B và C có vai trò như nhau nên khi quay tam giác ABC quanh AC ta cũng nhận được khối tròn xoay có thể tích bằng 16.

Vậy thế tích lớn nhất có thể được khi quay tam giác ABC quanh một đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC là \(16\pi \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.