Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(B,\,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot mp\left( {ABC}

Câu hỏi số 307945:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(B,\,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot mp\left( {ABC} \right),\,SA = a.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC,\) mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(AG\) và song song với \(BC\) cắt \(SB,SC\) lần lượt tại \(M,{\rm N}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AM{\rm N}\) ?

A. \(V = \frac{{{a^3}}}{9}\)

B. \(V = \frac{{2{a^3}}}{{27}}\)

C. \(V = \frac{{2{a^2}}}{9}\)

D. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

+) Xác định các điểm \(M,\;N.\)

+) Sử dụng định lý Ta-lét tính các tỉ số \(\frac{{SM}}{{SB}},\;\;\frac{{SN}}{{SC}}.\)

+) Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm \(M \in SA,\;\;N \in SB,\;\;P \in SC\) ta có: \(\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\)

+) Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Giải chi tiết

Qua G, kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại M và cắt SC tại N.

Gọi H là trung điểm của BC.

\( \Rightarrow \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}\) (tính chất đường trung tuyến).

Ta có: \(MN//BC \Rightarrow \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}\) (định lý Ta-let)

Ta có : \(AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\;(\Delta ABC\) cân tại \(B)\)

Có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}A{B^2} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{a^2} = \frac{1}{6}{a^3}.\)

Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có: \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{SAMN}} = \frac{4}{9}{V_{SABC}} = \frac{4}{9}.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{2}{{27}}{a^3}.\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:307945

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.