Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} -

Câu hỏi số 308377:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\).

A. \(m \in \mathbb{R}\)

B. \(m \le \dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{2} < m < 2\)

D. \(m \le 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:308377

Phương pháp giải

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\).

+) Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có : \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow {x^2} + 2x \ge 2m\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right]\)

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} \Rightarrow 2m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) ta có :

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;4} \right] \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).

Vậy \(2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.