Trong không gian, cho hai đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1},\,\,\Delta
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1},\,\,\Delta ':\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\). Xét điểm \(M\) thay đổi. Gọi \(a,\,\,b\) lần lượt là khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta \) và \(\Delta '\). Biểu thức \({a^2} + 2{b^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M \equiv M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) . Khi đó \({x_0} + {y_0}\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Gọi \(PQ\) là đoạn vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\). Xác định tọa độ các điểm \(P,Q\).
+) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta ,\,\,\Delta '\), đánh giá \(a + b \ge PQ\).
+) Sử dụng BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta ,\,\,\Delta '\) \( \Rightarrow MH = a,\,\,MK = b\).
Gọi \(PQ\) là đoạn vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Lấy \(P\left( {t;t;t + 1} \right) \in \left( \Delta \right);\,\,Q\left( {t' + 1;2t';t'} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \left( {t' - t + 1;\,\,2t' - t;\,\,t' - t - 1} \right)\).
Gọi 2 VTCP của \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;1} \right);\,\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;1} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' - t + 1 + 2t' - t + t' - t - 1 = 0\\t' - t + 1 + 4t' - 2t + t' - t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t' - 3t = 0\\6t' - 4t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow P\left( {0;0;1} \right);\,\,Q\left( {1;0;0} \right)\).
Ta có \(a + b \ge HK \ge PQ = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có \({a^2} + 2{b^2} = \dfrac{{{a^2}}}{1} + \dfrac{{{b^2}}}{{\dfrac{1}{2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{1 + \dfrac{1}{2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{4}{3}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{{\dfrac{1}{2}}}\\M \in PQ\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\M \in PQ\end{array} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} = - 2\overrightarrow {MQ} \).
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} = \left( { - a; - b;1 - c} \right);\,\,\overrightarrow {MQ} = \left( {1 - a; - b; - c} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 2 + 2a\\ - b = 2b\\1 - c = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 0\\c = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{2}{3};0;\dfrac{1}{3}} \right) \Rightarrow {x_0} = \dfrac{2}{3};\,\,{y_0} = 0 \Rightarrow {x_0} + {y_0} = \dfrac{2}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
