Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a.\) Thể tích khối

Câu hỏi số 310087:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a.\) Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(4{a^3}\). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) tới mặt bên của hình chóp.

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{3a}}{4}\)

C. \(\dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:310087

Phương pháp giải

Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để xác định khoảng cách \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OH\) với \(OH \bot \left( P \right)\) tại \(H.\)

(Để chứng minh \(OH \bot \left( P \right)\) ta chứng minh \(OH\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \(\left( P \right)\))

Ta tính \(SO\) dựa vào công thức thể tích hình chóp, tính \(OH\) dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Vì \(S.ABCD\) là chóp tứ giác đều có \(O\) là tâm đáy nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), trong \(\Delta SOM\) kẻ \(OH \bot SM\) tại \(H.\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(OB = OC = OA = OD = \dfrac{{BD}}{2}.\) Suy ra \(OM \bot BC\) (vì \(\Delta OBC\) vuông cân có \(OM\) là trung tuyến cũng là đường cao)

Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC\), lại có \(OM \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SOM} \right)\) suy ra \(BC \bot OH.\)

Từ đó vì \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\) tại \(H \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)

Xét tam giác \(OBC\) vuông cân tại \(O\) có trung tuyến \(OM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.2a = a.\)

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\). Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 4{a^3} = \dfrac{1}{3}SO.4{a^2} \Rightarrow SO = 3a.\)

Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(M\) có \(OH\) là đường cao nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Leftrightarrow O{H^2} = \dfrac{{10}}{{9{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\)

Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.