Tập nghiệm của bất phương trình\({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt

Câu hỏi số 311295:

Vận dụng cao

Tập nghiệm của bất phương trình\({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\)là \(\left( { - \sqrt a ; - \sqrt b } \right]\). Khi đó \(ab\) bằng

A. \(\dfrac{{12}}{5}\)

B. \(\dfrac{{5}}{12}\)

C. \(\dfrac{{15}}{16}\)

D. \(\dfrac{{16}}{15}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311295

Phương pháp giải

+ Tìm điều kiện

+ Biến đổi bất phương trình để đưa về dạng hàm số \(f\left( a \right) \le f\left( b \right)\), chỉ ra hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến với \(t > 0\) nên suy ra \(a \le b.\)

+ Kết hợp điều kiện để suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

Chú ý sử dụng các công thức \({\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c;{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\,\,\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)

Giải chi tiết

Điều kiện : \(x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4 > 0 \Leftrightarrow x.\dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4 > 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + \dfrac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} > 0 \Rightarrow 6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} > 0\) (vì \(\sqrt {{x^2} + 2} > x;\,\forall x\) )

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 2} > - 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3x < 0\\\left\{ \begin{array}{l} - 3x \ge 0\\4\left( {{x^2} + 2} \right) > {\left( { - 3x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\5{x^2} < 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \({\log _2}\left( {x\sqrt {{x^2} + 2} + 4 - {x^2}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x\left( {\sqrt {{x^2} + 2} - x} \right) + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}} + 4} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} }}{{\sqrt {{x^2} + 2} + x}}} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {6x + 4\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right)} \right] - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}2 + {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) - {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + 2x + \sqrt {{x^2} + 2} \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) + 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le {\log _2}\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right) + x + \sqrt {{x^2} + 2} \,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\,\) với \(t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t.\ln 2}} > 0;\,\forall t > 0\) nên \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Từ đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} } \right) \le f\left( {\sqrt {{x^2} + 2} + x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x + 2\sqrt {{x^2} + 2} \le \sqrt {{x^2} + 2} + x\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2} \le - 2x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x \ge 0\\{x^2} + 2 \le 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\\x \le - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(\left[ \begin{array}{l}x > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le 0\end{array} \right.\) ta có \( - \dfrac{{\sqrt {40} }}{5} < x \le - \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\) hay \( - \sqrt {\dfrac{8}{5}} < x \le - \sqrt {\dfrac{2}{3}} \)

Tập nghiệm bất phương trình \(S = \left( { - \sqrt {\dfrac{8}{5}} ; - \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right]\) nên \(a = \dfrac{8}{5};b = \dfrac{2}{3} \Rightarrow a.b = \dfrac{8}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{{16}}{{15}}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.