Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 6;\,6} \right]\) của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?

Câu 311294: Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 6;\,6} \right]\) của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?

A. \(12\).

B. \(9\).

C. \(8\).

D. \(11\).

Câu hỏi : 311294

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Ta sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,f\left( x \right) = {y_0};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f\left( x \right) = {y_0}\)

Ta sử dụng nhận xét: “Đối với hàm phân thức, số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của mẫu thức khác nghiệm của tử thức” để tìm các tiệm cận đứng của đồ thị đã cho.

Đáp án : B
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \,f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}}}{{1 - 3m\dfrac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \left( {2{m^2} + 1} \right)\dfrac{x}{{{x^3}}} - \dfrac{m}{{{x^3}}}}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0\,\,\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \(x \ne 3.\)

Ta có \({x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} - 2mx + 1 = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì \(m \ne 3\) và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\) và khác \(3.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\{3^2} - 2.m.3 + 1 \ne 0\\{m^2} - 2{m^2} + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\\m \ne - 1\\m \ne 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\ - 6 \le m \le 6\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;2;4;5;6} \right\}\)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.