Cho \(a,b,c,d\) là các số thực thay đổi thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2,\,{c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d.\)

Câu hỏi số 312380:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c,d\) là các số thực thay đổi thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 2,\,{c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3c + 4d - (ac + bd)\).

A. \(25 + 4\sqrt 2 .\)

B. \(25 + 5\sqrt 2 .\)

C. \(25 - 5\sqrt 2 .\)

D. \(25 + \sqrt {10} .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312380

Phương pháp giải

Áp dụng công thức \(\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \) để tìm giá trị nhỏ nhất của \(3a + 4b\) từ đó tìm giá trị lớn nhất của \(P\)

Giải chi tiết

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\alpha \) là góc có \(\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt 2 }};\cos \alpha = \frac{b}{{\sqrt 2 }}\)

Lại có: \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \) Gọi \(\beta \) là góc có \(\sin \beta = \frac{3}{5};\cos \beta = \frac{4}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{3}{5} + \frac{b}{{\sqrt 2 }}.\frac{4}{5} = \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = \cos \left( {\alpha - \beta } \right) \ge - 1\\ \Rightarrow 3a + 4b \ge - 5\sqrt 2 .\end{array}\)

Ta có: \({c^2} + {d^2} + 25 = 6c + 8d \Leftrightarrow \left( {{c^2} - 6c + 9} \right) + \left( {{d^2} - 8d + 16} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {c - 3} \right)^2} + {\left( {d - 4} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {c - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall c\\{\left( {d - 4} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall d\end{array} \right. \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow c - 3 = d - 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 3\\d = 4\end{array} \right.\)

Khi đó \(P = 9 + 16 - \left( {3a + 4b} \right) = 25 - \left( {3a + 4b} \right) \le 25 - \left( { - 5\sqrt 2 } \right) = 25 + 5\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.