Tính giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} }}{{x - 1}}\)

Câu hỏi số 314559:

Vận dụng

Tính giá trị \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} }}{{x - 1}}\) có kết quả là:

A. \(\frac{1}{{12}}\)

B. \( + \infty \)

C. \(\frac{{ - 3}}{2}\)

D. \(\frac{{ - 2}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314559

Phương pháp giải

Nhân liên hợp để khử dạng \(\frac{0}{0}\) rồi tính giới hạn của biểu thức.

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} - 2}}{{x - 1}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt[3]{{x + 7}} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{x + 7}} + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{x + 7}} + 4} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} - 2} \right)\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 7 - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{x + 7}} + 4} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 2 - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{x + 7}} + 4} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2} \right)}}\\ = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{\left( {x + 7} \right)}} + 4}} - \frac{{x + 2}}{{\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2}}\end{array}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x + 7}} - 2}}{{x - 1}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} - 2}}{{x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{\left( {x + 7} \right)}} + 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 2}}{{\sqrt[{}]{{{x^2} + x + 2}} + 2}} = \frac{1}{{12}} - \frac{3}{4} = - \frac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.