Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và

Câu hỏi số 315505:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2},{\rm{ }}\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{cos}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = \dfrac{\pi }{2}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

\(\pi \).

\(\dfrac{{3\pi }}{2}\).

\(\dfrac{2}{\pi }\).

D. \(\dfrac{1}{\pi }\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315505

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {{\rm{udv}}} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {{\rm{vdu}}} \).

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\int\limits_0^1 {{\rm{cos}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {\left( {{\rm{cos}}\left( {\pi x} \right).f\left( x \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}\left( {{\rm{cos}}\left( {\pi x} \right)} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( {{\rm{cos}}\left( {\pi x} \right).f\left( x \right)} \right)} \right|_0^1 + \pi \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} \\ \Rightarrow - f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) + \pi \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - 0 + \pi \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = 0\\ \Rightarrow {f^2}\left( x \right) - f\left( x \right){\rm{.sin}}\left( {\pi x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = \sin \left( {\pi x} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) \(f\left( x \right) = 0\) mâu thuẫn với \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2}\)

+) \(f\left( x \right) = \sin \left( {\pi x} \right)\)\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\sin \left( {\pi x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\dfrac{{ - \cos \left( {\pi x} \right)}}{\pi }} \right|_0^1 = \dfrac{{1 + 1}}{\pi } = \dfrac{2}{\pi }\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.