Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy

Câu hỏi số 317464:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A. \(2x - y - 3 = 0\)

B. \(x - 2y = 0\)

C. \(x + 2y - 4 = 0\)

D. \(x - y - 1 = 0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317464

Phương pháp giải

Gọi phương trình d cần tìm theo đoạn chắn.

Giải chi tiết

Ta có A, B là giao điểm của d với hai tia Ox,Oy nên gọi \(A\left( {a;\;0} \right);\;B\left( {0;\;b} \right)\;\;\;\left( {a > 2;\;b > 1} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Do \(M \in d \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\;\;\;\;\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)

Để diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab\) nhỏ nhất

Ta có: \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{ab}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow ab \ge 8\)

Vậy diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab = 8\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\\left( {8 - 2b} \right)b = 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\,\,\,(tm)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10