Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy

Câu hỏi số 317464:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là:

A. \(2x - y - 3 = 0\)

B. \(x - 2y = 0\)

C. \(x + 2y - 4 = 0\)

D. \(x - y - 1 = 0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317464

Phương pháp giải

Gọi phương trình d cần tìm theo đoạn chắn.

Giải chi tiết

Ta có A, B là giao điểm của d với hai tia Ox,Oy nên gọi \(A\left( {a;\;0} \right);\;B\left( {0;\;b} \right)\;\;\;\left( {a > 2;\;b > 1} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Do \(M \in d \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\;\;\;\;\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)

Để diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab\) nhỏ nhất

Ta có: \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{ab}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow ab \ge 8\)

Vậy diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất \( \Leftrightarrow ab = 8\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\\left( {8 - 2b} \right)b = 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\,\,\,(tm)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 4 = 0\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.