Bất phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\).

Câu hỏi số 318506:

Vận dụng

Bất phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\). Tập tất cả các giá trị của \(m\) là:

A. \(\left( { - \infty ;12} \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ; - 0} \right]\)

D. \(\left( { - 1;16} \right]\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318506

Phương pháp giải

Đặt \({2^x} = t,\,\,t \ge 1\) (do\(x \ge 0\)). Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Đặt \({2^x} = t,\,\,t \ge 1\) (do\(x \ge 0\)).

Bất phương trình trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - 2t} \right) \ge 2t - {t^2}\,\,\left( * \right)\)

Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\) thì (*) nghiệm đúng với mọi\(\,t \ge 1\)

Do \(t \ge 1 \Rightarrow - 2t \le - 2 \Leftrightarrow 1 - 2t \le - 1 < 0\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}}\) nghiệm đúng với mọi \(\,t \ge 1 \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{t \ge 1} \left( {\dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{2t - {t^2}}}{{1 - 2t}},\,\,t \ge 1\) có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2 - 2t} \right)\left( {1 - 2t} \right) - \left( {2t - {t^2}} \right).\left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{t^2} - 2t + 2}}{{{{\left( {1 - 2t} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \ge 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{t \ge 1} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow m \le - 1\)

Vậy, tập tất cả các giá trị của m là \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.