Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right)\). Xét hai điểm \(A\left(

Câu hỏi số 318514:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right)\). Xét hai điểm \(A\left( {a;{y_A}} \right),\,\,B\left( {b,\,\,{y_B}} \right)\) phân biệt của đồ thị \(\left( C \right)\) mà tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) song song. Biết rằng đường thẳng \(AB\) đi qua \(D\left( {5;3} \right)\). Phương trình của \(AB\) là:

A. \(x - y - 2 = 0\)

B. \(x + y - 8 = 0\)

C. \(x - 3y + 4 = 0\)

D. \(x - 2y + 1 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318514

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

\(y = \dfrac{1}{2}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2\,\,\left( C \right) \Rightarrow y' = \dfrac{3}{2}{x^2} - 3x\)

Do tiếp tuyến tại A và B song song nên \( \Rightarrow y'\left( a \right) = y'\left( b \right)\,\,\left( {a \ne b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{a^2} - 3a = \dfrac{3}{2}{b^2} - 3b \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} - 2a + 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = 2\,\,\left( {Do\,\,a \ne b} \right)\end{array}\)

Ta có: \(A\left( {a;\dfrac{1}{2}{a^3} - \dfrac{3}{2}{a^2} + 2} \right);\,\,B\left( {b;\dfrac{1}{2}{b^3} - \dfrac{3}{2}{b^2} + 2} \right)\), với \(a + b = 2\).

Ta có:

\(\dfrac{{\dfrac{1}{2}{a^3} - \dfrac{3}{2}{a^2} + 2 + \dfrac{1}{2}{b^3} - \dfrac{3}{2}{b^2} + 2}}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{{\left( {a + b} \right)}^3} - \dfrac{1}{2}3ab\left( {a + b} \right) - \dfrac{3}{2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \dfrac{3}{2}.2ab + 4}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow I\left( {1;1} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

Đường thẳng AB đi qua \(D\left( {5;3} \right)\) và \(I\left( {1;1} \right)\) có phương trình là:

\(\dfrac{{x - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 = 2y - 2 \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.