Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {4; - 2;6} \right),\,\,B\left( {2;4;2} \right)\), \(M \in \left( \alpha

Câu hỏi số 318515:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {4; - 2;6} \right),\,\,B\left( {2;4;2} \right)\), \(M \in \left( \alpha \right):\,\,x + 2y - 3z - 7 = 0\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất. Tọa độ của \(M\) bằng:

A. \(\left( {\dfrac{{29}}{{13}};\dfrac{{58}}{{13}};\dfrac{5}{{13}}} \right)\)

B. \(\left( {4;3;1} \right)\)

C. \(\left( {1;3;4} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{{37}}{3};\dfrac{{ - 56}}{3};\dfrac{{68}}{3}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318515

Phương pháp giải

+) Xác định tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

+) Sử dụng công thức ba điểm.

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} \)

Xác định tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow I\) là trung điểm của AB, có tọa độ là \(I\left( {3;1;4} \right)\)

Để \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) nhỏ nhất thì \(M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\)

Khi đó, đường thẳng MI nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \left( {1;2; - 3} \right)\) làm 1 VTCP. Phương trình đường thẳng IM là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = 4 - 3t\end{array} \right.\)

Giả sử \(M\left( {3 + t;1 + 2t;4 - 3t} \right)\).

Do \(M \in \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {4 - 3t} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow 14t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {4;3;1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.