Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng \(R\) và phần còn lại có

Câu hỏi số 318964:

Vận dụng

Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng \(R\) và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao bằng \(2R.\) Phễu chứa nước có mực nước đến sát đáy hình nón. Người ta thả vào một một vật hình cầu bằng kim loại vào thì nó đặt vừa khít trong hình nón (hình bên). Chiều cao cột nước dâng lên theo bằng

A. \(\frac{{32R}}{{3{{(1 + \sqrt 5 )}^3}}}\)

B. \(\frac{{8R}}{{3{{(1 + \sqrt 5 )}^3}}}\)

C. \(\frac{{16R}}{{3{{(1 + \sqrt 5 )}^3}}}\)

D. \(\frac{{4R}}{{3{{(1 + \sqrt 5 )}^3}}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:318964

Phương pháp giải

+) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(SAB\) , sử dụng công thức \(r = \frac{S}{p}\) trong đó \(S,p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác \(SAB\).

+) Tính thể tích khối cầu, sử dụng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

+) Thể tích khối cầu = thể tích phần nước dâng lên ở dạng khối trụ, sử dụng công thức \(V = \pi {R^2}h\) tính thể tích khối trụ, từ đó suy ra \(h\).

Giải chi tiết

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(SA = SB = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {4{R^2} + {R^2}} = R\sqrt 5 \).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SO.AB = \frac{1}{2}.2R.2R = 2{R^2}\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{SA + SB + AB}}{2} = \frac{{R\sqrt 5 + R\sqrt 5 + 2R}}{2} = R\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\)

Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(SAB\).

\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{\Delta SAB}}}}{p} = \frac{{2{R^2}}}{{R\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \frac{{2R}}{{\sqrt 5 + 1}}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}}\)

Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R.

Gọi \(h\) là chiều cao cột nước dâng lên ta có \(V = \pi {R^2}h = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow h = \frac{{32R}}{{3{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.