Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\).

Câu hỏi số 319074:

Vận dụng cao

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Giả sử \(\left( d \right)\) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua điểm \(B.\) Khi đó khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình nào sau đây?

A. \(x - y + 1 = 0\)

B. \(3x + 4y = 25\)

C. \(5x - 2y - 7 = 0\)

D. \(2x + 5y - 26 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319074

Phương pháp giải

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\). Viết phương trình \(\left( d \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến .

Áp dụng BĐT Binhiacopxki để tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình : \(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 3a - 4b = 0\)

Khi đó: \(d\left( {A;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {a - b - 3a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {2a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Áp dụng BĐT Binhiacopxki \( \Rightarrow d\left( {A;\left( d \right)} \right) \le \frac{{\sqrt {\left( {4 + 25} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {29} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{b}{5} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{5}\)

Chọn \(a = 2;\,\,b = 5 \Rightarrow \) Phương trình \(d:\,\,2x + 5y - 26 = 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10