Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\).

Câu hỏi số 319074:

Vận dụng cao

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Giả sử \(\left( d \right)\) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua điểm \(B.\) Khi đó khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\left( d \right)\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình nào sau đây?

A. \(x - y + 1 = 0\)

B. \(3x + 4y = 25\)

C. \(5x - 2y - 7 = 0\)

D. \(2x + 5y - 26 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319074

Phương pháp giải

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\). Viết phương trình \(\left( d \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến .

Áp dụng BĐT Binhiacopxki để tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT của \(\left( d \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình : \(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 3a - 4b = 0\)

Khi đó: \(d\left( {A;\left( d \right)} \right) = \frac{{\left| {a - b - 3a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {2a + 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Áp dụng BĐT Binhiacopxki \( \Rightarrow d\left( {A;\left( d \right)} \right) \le \frac{{\sqrt {\left( {4 + 25} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {29} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{b}{5} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{5}\)

Chọn \(a = 2;\,\,b = 5 \Rightarrow \) Phương trình \(d:\,\,2x + 5y - 26 = 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.