Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 -

Câu hỏi số 321210:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = \dfrac{{{e^4} - 1}}{4}\)

B. \(I = \dfrac{{2e - 1}}{2}\)

C. \(I = {e^4} - 2\)

D. \(I = {e^4} - 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321210

Phương pháp giải

+) Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế của giả thiết.

+) Sử dụng phương pháp đổi biến để biến dổi các tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = x{e^{{x^2}}}\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \)

Đặt \(t = 2 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = - \int\limits_2^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} \end{array}\)

Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \dfrac{{du}}{2}\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 2 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {x{e^{{x^2}}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^u}du} = \left. {\dfrac{1}{2}{e^u}} \right|_0^4 = \dfrac{1}{2}\left( {{e^4} - 1} \right)\\ \Rightarrow I = \dfrac{1}{4}\left( {{e^4} - 1} \right) = \dfrac{{{e^4} - 1}}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.