Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), song song với \(\left( P \right)\) và cách điểm \(B\left( { - 1;0;2} \right)\) một khoảng ngắn nhất. Hỏi \(\Delta \) nhận vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+) Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).
+) \(\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), do \(\Delta \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\). Rút \(a\) theo \(b\).
+) Tính \(d\left( {B;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {f\left( b \right)} \). Lập BBT của hàm số \(f\left( b \right)\) và tìm GTNN của \(d\left( {B;\Delta } \right)\). Từ đó suy ra \(b\) và suy ra \(\overrightarrow u \).
Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), do \(\Delta \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow a + 2b = 0 \Leftrightarrow a = - 2b \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 2b;b;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BA} = \left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow u } \right] = \left( { - b - 1;2 - 2b; - 4b} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {B;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {b + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2b} \right)}^2} + 16{b^2}} }}{{\sqrt {4{b^2} + {b^2} + 1} }} = \sqrt {\dfrac{{21{b^2} - 6b + 5}}{{5{b^2} + 1}}} \)
Xét hàm số \(f\left( b \right) = \dfrac{{21{b^2} - 6b + 5}}{{5{b^2} + 1}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = \dfrac{{\left( {42b - 6} \right)\left( {5{b^2} + 1} \right) - \left( {21{b^2} - 6b + 5} \right).10b}}{{{{\left( {5{b^2} + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{210{b^3} + 42b - 30{b^2} - 6 - 210{b^3} + 60{b^2} - 50b}}{{{{\left( {5{b^2} + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{30{b^2} - 8b - 6}}{{{{\left( {5{b^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\b = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy \(\min f\left( b \right) = f\left( {\dfrac{3}{5}} \right) = \dfrac{{16}}{5}\).
\( \Rightarrow d{\left( {B;\Delta } \right)_{\min }} = \dfrac{4}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow b = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - \dfrac{6}{5};\dfrac{3}{5};1} \right)//\left( {6; - 3; - 5} \right)\).
Các em có thể tham khảo cách 2 :
+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).
+) Khi đó \(\Delta \) cần tìm là một đường thẳng nằm trong (Q) và đi qua A.
+) Khi đó : \(d\left( {B;\,\,\Delta } \right)\,\,\,Min = \,\,d\left( {B;\,\,\left( Q \right)} \right).\)
+) Lập phương trình đường thẳng d’ đi qua B và vuông góc với (Q).
+) Gọi H là giao điểm của d’ và (Q).
+) Khi đó H thuộc đường thẳng \(\Delta \) hay \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {AH} \) là 1 VTCP.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
