Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1\) có ba

Câu hỏi số 321729:

Vận dụng

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 1\) có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc \(O\) tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. \(m = \pm 1\)

B. \(m = - 1\)

C. \(m = 1\)

D. Không tồn tại \(m\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321729

Phương pháp giải

+ Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo tham số \(m\)

+ Dựa vào tính chất hàm trùng phương và tính chất tứ giác nội tiếp để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2}\end{array} \right.\).

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là \({m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^4} + 1\\x = m \Rightarrow y = 1\\x = - m \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\) .

Gọi \(A\left( {0;{m^4} + 1} \right);B\left( { - m;1} \right);C\left( {m;1} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Vì \(B;C\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\) và \(O;A \in Oy\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}OB = OC\\AB = AC\end{array} \right.\).

Lại có cạnh \(OA\) chung nên \(\Delta BAO = \Delta CAO\left( {c - c - c} \right)\) suy ra \(\widehat {OBA} = \widehat {OCA}\), mà tứ giác \(OBAC\) nội tiếp nên \(\widehat {OBA} + \widehat {OCA} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OCA} = 90^\circ \).

Hay \(AB \bot OB \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB} = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - m; - {m^4}} \right);\,\overrightarrow {OB} = \left( { - m;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB} = {m^2} - {m^4} = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = 1\left( {TM} \right)\\m = - 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = \pm 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.