Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt

Câu hỏi số 322464:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) được kết quả

A. 3a

B. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{7}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322464

Phương pháp giải

\(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( P \right)\\A \in a\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HM vuông góc với SN tại H.

Ta có: \(AM//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\)

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SM \bot AB,\,\,\,\,SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot MN\\CD \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot HM\)

Mà \(HM \bot SN \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\)\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\)

\(\Delta SMN\) vuông tại M \( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HM = \sqrt {\dfrac{3}{7}} a\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\)\( = \sqrt {\dfrac{3}{7}} a = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.