Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác vuông tại B, BC = a. Hai mặt phẳng (SCA)

Câu hỏi số 324131:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác vuông tại B, BC = a. Hai mặt phẳng (SCA) và (SBC) hợp với nhau một góc \({60^0}\) và góc \(\widehat {BSC} = {45^0}\). Tính côsin của góc \(\alpha = \widehat {ASB}\).

A. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(\cos \alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\cos \alpha = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:324131

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\) .

Giải chi tiết

Kẻ \(BH \bot SC,BK \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SC\)

Mà \(BH \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow HK \bot SC\)

\(SC = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HK} \right) = \angle BHK = {60^0}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).

Mà \(\widehat {BSC} = {45^0} \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại B \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SB = BC = a\\BH = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Đặt \(SA = x \Rightarrow A{B^2} = S{B^2} - S{A^2} = {a^2} - {x^2};\,\,A{C^2} = 2{a^2} - {x^2}\)

\(\Delta BHK\) vuông tại K, \(\widehat {BHK} = {60^0}\)

\( \Rightarrow HK = BH.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}BH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4},\,\,BK = BH.\sin {60^0} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại B, \(BK \bot AC \Rightarrow BK.AC = BC.AB\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\sqrt {2{a^2} - {x^2}} = a.\sqrt {{a^2} - {x^2}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{8}\left( {2{a^2} - {x^2}} \right) = {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow \dfrac{5}{8}{x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow x = a\sqrt {\dfrac{2}{5}} \end{array}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{SA}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt {\dfrac{2}{5}} }}{a} = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.