Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\)

Câu hỏi số 325730:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) bằng:

A. \(g\left( 0 \right)\)

B. \(g\left( 1 \right)\)

C. \(g\left( { - 3} \right)\)

D. \(g\left( 3 \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325730

Phương pháp giải

- Tính \(g'\left( x \right)\).

- Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ với \(f'\left( x \right)\).

- Dựa vào mối quan hệ diện tích hình phẳng nhận xét các giá trị \(g\left( 1 \right),g\left( 3 \right),g\left( { - 3} \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\).

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) ta thấy,

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3;1;3\) nên hàm số chỉ có thể đạt GTNN tại một trong ba điểm này.

Ta có:

+) \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx} = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

Do trong khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} > 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) < g\left( 1 \right)\).

+) \(g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right) = \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} = 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

Do trong khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} < 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right)\).

Từ đó suy ra \(g\left( 1 \right)\) là GTLN của hàm số.

Lại có \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = {S_1} > {S_2} = g\left( 1 \right) - g\left( 3 \right)\) nên \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right)\).

Vậy \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\) nên GTNN của hàm số là \(g\left( { - 3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.