Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm

Câu hỏi số 328486:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt với mọi giá trị của \(m.\)

b) Tìm \(m\) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)

A. \({\rm{b)}}\,\,m = \frac{{ - 4}}{5}.\)

B. \({\rm{b)}}\,\,m = \frac{4}{5}.\)

C. \({\rm{b)}}\,\,m = \frac{5}{4}.\)

D. \({\rm{b)}}\,\,m = \frac{{ - 5}}{4}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:328486

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0\)

Bước 2: Phân tích biểu thức A về dạng chứa các hệ thức Vi-et sau đó áp dụng Vi-et vào tìm được \(m\) và đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận. Hệ thức Viet như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {(2m - 3)^2} + 4(m - 1) = 4{m^2} - 12m + 9 + 4m - 4\\ = 4{m^2} - 8m + 5 = {\left( {2m - 2} \right)^2} + 1 > 0\,\forall m\end{array}\)

Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - 2m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có : \(\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 5\\ \Leftrightarrow 1 - m - 3\left( {3 - 2m} \right) = - 4\\ \Leftrightarrow 5m = 4 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}.\end{array}\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m = \frac{4}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link