1) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x

Câu hỏi số 330524:

Vận dụng

1) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x - 3 = 0.\)

2) Cho các số thực dương \(a,\,b,\,c.\) Chứng minh rằng:

A. \(1)\,\,\left( { - 1; - 1} \right).\)

B. \(1)\,\,\left( { - 1;1} \right).\)

C. \(1)\,\,\left( {1; - 1} \right).\)

D. \(1)\,\,\left( {1;1} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:330524

Phương pháp giải

1) Biến đổi VT của phương trình đã cho thành phương trình tích, từ đó có nhân tử.

2) Biến đổi độc lập từng phân thức của VT, chú ý áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

1) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x - 3 = 0.\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} - 4{y^2} - 2xy - 3x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 4xy - 2x} \right) + \left( {2xy - 4{y^2} - 2y} \right) - \left( {x - 2y - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2y - 1} \right) + 2y\left( {x - 2y - 1} \right) - \left( {x - 2y - 1} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) = 4\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Do \(x,\,\,y \in \mathbb{Z},\,\,2x + 2y - 1\) lẻ nên ta có các trường hợp sau đây:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 1 = - 1\\x - 2y - 1 = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 1 = 1\\x - 2y - 1 = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 0\\x - 2y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 2\\x - 2y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\,\,\,\\x = - \frac{4}{3}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: \(\left( { - 1;\,\,1} \right).\)

2) Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c.\) Chứng minh: \(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ac\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{{a + b}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + {b^2} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0.\end{array}\)

Điều này là luôn đúng, dấu “=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{c^3} + {b^3}}}{{cb\left( {{c^2} + {b^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2b}}\\\frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ca\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế ta có:

\(\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{bc\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{ac\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}} \ge \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2c}} + \frac{1}{{2a}} + \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.\)

Dấu “ = “ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.