Tìm các tham số thực \(m\) để phương trình \({x^2} - (m + 1)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 330523:

Vận dụng

Tìm các tham số thực \(m\) để phương trình \({x^2} - (m + 1)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \(P = \frac{{{x_1} + {x_2} - 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2} + 3}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m = - 2.\)

B. \(m = - 1.\)

C. \(m = 1.\)

D. \(m = 2.\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:330523

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

- Sử dụng định lý Vi-et để thay vào biểu thức \(P.\)

Giải chi tiết

Tìm số thực m để phương trình \({x^2} - (m + 1)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(P = \frac{{{x_1} + {x_2} - 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2} + 3}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8m = {m^2} - 6m - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + \sqrt {10} \\m < 3 - \sqrt {10} \end{array} \right..\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có :

\(P = \frac{{{x_1} + {x_2} - 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2} + 3}} = \frac{{\left( {m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 3.2m + 3}} = \frac{m}{{{m^2} - 4m + 4}} = \frac{m}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\)

Xét biểu thức : \(P + \frac{1}{8} = \frac{m}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{8} = \frac{{8m + {m^2} - 4m + 4}}{{8{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{8{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} \ge 0\)

\( \Rightarrow P + \frac{1}{8} \ge 0 \Leftrightarrow P \ge - \frac{1}{8}.\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(Min\,\,P = - \frac{1}{8}\) khi \(m = - 2.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.