Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3xf\left( {{x^2}} \right)

Câu hỏi số 331345:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( x \right) = 9{x^3} - 1\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{5}{2}\).

B. \(\dfrac{5}{4}\).

C. \(\dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{8}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331345

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế.

Giải chi tiết

Ta có: \(3xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( x \right) = 9{x^3} - 1\), (\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\))

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^3} - 1} \right)} dx \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {xf\left( {{x^2}} \right)} dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \left. {\left( {\dfrac{9}{4}{x^4} - x} \right)} \right|_0^1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)} d\left( {{x^2}} \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4},\,\,\left( {t = {x^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.