Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA \bot

Câu hỏi số 332252:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SC\) tạo với đáy một góc \({45^0}\). Gọi M là trung điểm của \(SB\), \(N\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(SN = \dfrac{1}{2}NC\). Tính thể tích khối chóp \(S.AMN\).

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332252

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Giải chi tiết

\(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\SC \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ C \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \widehat {SCA} = {45^0}\)\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A\( \Rightarrow SA = AC = 2a\)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.a.a\sqrt 3 .2a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.\,AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.\,AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}\).

Chú ý khi giải

Chú ý: Công thức tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho chóp tam giác.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.