Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i

Câu hỏi số 333386:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\).Tính \(\min \left| w \right|,\) với \(w = z - 2 + 2i\)

A. \(\min \left| w \right| = \dfrac{1}{2}\)

B. \(\min \left| w \right| = 1\)

C. \(\min \left| w \right| = \dfrac{3}{2}\)

D. \(\min \left| w \right| = 2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:333386

Phương pháp giải

- Đặt \(z = x + yi\), thay vào đẳng thức bài cho tìm mối quan hệ \(x,y\).

- Từ đó thay \(z\) vào \(w\) và tìm \(\min \left| w \right|\).

Giải chi tiết

Ta có : \(\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 - 2i} \right)\left( {z - 1 + 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\,\,\left( * \right)\)

TH1 : \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2i\)\( \Rightarrow w = z - 2 + 2i = 1 - 2i - 2 + 2i = - 1\)\( \Rightarrow \left| w \right| = 1\).

TH2 : \(\left| {z - 1 + 2i} \right| > 0\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 3i} \right|\,\,\left( {**} \right)\)

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow z = x - \dfrac{1}{2}i\)

\( \Rightarrow w = z - 2 + 2i = x - \dfrac{1}{2}i - 2 + 2i = \left( {x - 2} \right) + \dfrac{3}{2}i\)\( \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}} \ge \sqrt {0 + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\).

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta thấy \(\min \left| w \right| = 1\) khi \(z = 1 - 2i\).

Chú ý khi giải

Một số em có thể sẽ quên không xét TH1 dẫn đến kết luận \(\min \left| w \right| = \dfrac{3}{2}\) là sai.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.