Từ điểm M nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn

Câu hỏi số 333679:

Vận dụng

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn \(\left( O \right)\), A và B là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MB; C là giao điểm của AE và \(\left( O \right)\) \(\left( {C \ne A} \right)\), H là giao điểm của AB và MO

1) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(E{B^2} = EC.EA\).

3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp.

4) Gọi D là giao điểm của MC và \(\left( O \right)\)\(\left( {D \ne C} \right)\). Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác cân.

Xem lời giải

Câu hỏi:333679

Phương pháp giải

1) Chứng minh OAMB là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

2) Chứng minh hai tam giác chứa các cạnh trong hệ thức đồng dạng từ đó suy ra đpcm

3) Chứng minh \(\angle EHB = \angle ECB\) bằng các góc trong tam giác đồng dạng và tính chất tam giác cân\( \Rightarrow \) Tứ giác HCEB nội tiếp \( \Rightarrow \) đpcm

4) Chứng minh \(\Delta DAE \sim \Delta DBA\,\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle DAB = \angle ADB \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại B.

Giải chi tiết

1) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Ta có MA và MB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại A và B

\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác OAMB có:

\(\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)

Mà 2 góc đó là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác OAMB nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \)4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

2) Chứng minh \(E{B^2} = EC.EA\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

\(\angle EAB = \angle EBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AEB\,\,\,chung\\\angle EAB = \angle EBC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta BCE\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{BE}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow B{E^2} = EC.EA\) (đpcm)

3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp.

Ta có MA và MB là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) lần lượt tại A và B

\( \Rightarrow OM \bot AB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta MHB\) vuông tại H có HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MB

\( \Leftrightarrow HE = \frac{1}{2}MB = EB\)

\( \Rightarrow \Delta EHB\) cân tại E \( \Rightarrow \angle EHB = \angle EBH\) (tính chất tam giác cân).

Mà \(\angle EBH = \angle ECB\,\,\,\left( {do\,\,\,\Delta ABE \sim \Delta BCE} \right) \Rightarrow \angle EHB = \angle ECB\)

Xét tứ giác HCEB có \(\angle EHB = \angle ECB\) cùng nhìn cạnh EB

\( \Rightarrow \) Tứ giác HCEB nội tiếp (dhnb).

4) Gọi D là giao điểm của MC và \(\left( O \right)\)\(\left( {D \ne C} \right).\) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác cân.

Ta có \(E{B^2} = EC.EA\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

Mà \(EB = ME \Rightarrow M{E^2} = EC.EA \Rightarrow \frac{{ME}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{ME}}\)

Xét \(\Delta MEC\) và \(\Delta AEM\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AEM\,\,\,chung\\\frac{{ME}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{ME}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MEC \sim \Delta AEM\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle EMC = \angle EAM\) (cặp góc tương ứng)

Mà \(\angle EAM = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \angle EMC = \angle MDA.\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow ME//AD \Rightarrow \angle DAB = \angle MBA\) (2 góc so le trong)

Mà \(\angle MBA = \angle ADB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

\( \Rightarrow \angle DAB = \angle ADB \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại B. (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.