Số giá trị nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để phương trình \({4^x} - \left(

Câu hỏi số 335106:

Vận dụng

Số giá trị nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để phương trình \({4^x} - \left( {m + 3} \right){2^x} + 3m + 1 = 0\) có đúng một nghiệm lớn hơn \(0\) là

A. \(2021\)

B. \(2022\)

C. \(2019\)

D. \(2020\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335106

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \({2^x} = t\left( {t > 0} \right)\)

Đưa về phương trình dạng \(f\left( x \right) = m\) rồi sử dụng phương pháp hàm số (BBT) để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Đặt \({2^x} = t\left( {t > 0} \right)\) ta có phương trình \({t^2} - \left( {m + 3} \right)t + 3m + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = mt - 3m\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = m\left( {t - 3} \right)\) (*)

Nhận thấy \(t = 3\) không là nghiệm của phương trình (*) nên ta có \(m = \dfrac{{{t^2} - 3t + 1}}{{t - 3}} = t + \dfrac{1}{{t - 3}}\) (1)

Để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm \(x > 0\) thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm \(t > {2^0} \Leftrightarrow t > 1\)

Ta xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \dfrac{1}{{t - 3}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( t \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\left( {tm} \right)\\t = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Từ BBT ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng 1 nghiệm \(t > 1\) khi \(\left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{2}\\m = 1\\m = 5\end{array} \right.\) mà \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2019; - 2018;...;0;1;5} \right\}\)

Như vậy có \(2022\) giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.