Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x}

Câu hỏi số 335491:

Vận dụng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

C. \(\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right]\)

D. \(\left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335491

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), đặt \(t = \cos x\) đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

+) Từ ĐK của \(x \Rightarrow \) ĐK của \(t\). Tìm ĐK để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn ycbt.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) - 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left( {4m + 1} \right)\cos x + 2m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x,\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow t \in \left[ { - 1;0} \right)\), khi đó bài toán trở thành:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2{t^2} - \left( {4m + 1} \right)t + 2m = 0\,\,\left( * \right)\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 1;0} \right)\).

\(\begin{array}{l}2{t^2} - \left( {4m + 1} \right)t + 2m = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t = 2m\left( {2t - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right)\\t = 2m\end{array} \right.\end{array}\).

Để (*) có nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 1;0} \right)\) \( \Rightarrow - 1 \le 2m < 0 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le m < 0\).

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right)\).

Chú ý khi giải

Sau khi đặt \(t = \cos x\), học sinh hay suy ra nhầm ĐK của \(t \in \left( { - 1;0} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.