Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) =

Câu hỏi số 335845:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{4}{3}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{5}{3}\)

D. \(\dfrac{{ - 10}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335845

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

\(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {xd\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)

Theo bài ra ta có:

\(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2 - f\left( 0 \right) = - 1\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = - 2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 2 - \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \).

Đặ \(t = 2 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dx} = - \int\limits_2^0 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \\ \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \\ \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right)} \right]dx} \\ \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)dx} \\ \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{8}{3}\\ \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} = - 2 - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{{10}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.