Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho đồ thị hàm số

Câu hỏi số 336755:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}\) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tích các phần tử của \(S\)bằng

A. \( - \dfrac{1}{2}.\)

B. \(\dfrac{1}{2}.\)

C. \(\dfrac{1}{3}.\)

D. \( - \dfrac{1}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336755

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận \(x = {x_0}\) làm TCĐ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \infty \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x}}}\end{array}\)

Để đồ thị hàm số có TCĐ \(x = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x} = 0\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + {m^2}x}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}}}}{x} + {m^2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - 1 - \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1}}{x} + {m^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} - 1}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} - 1}}{x} + {m^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} \right)}} + {m^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3} + mx + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^4} + x + 1 - 1}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1} \right)}} + {m^2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + m}}{{\sqrt {{x^3} + mx + 1} + 1}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{{\sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{{x^4} + x + 1}} + 1}} + {m^2}\\ = \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{3} + {m^2} = 0 \Leftrightarrow 6{m^2} + 3m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

(*) có 2 nghiệm trái dấu và có tích các nghiệm là: \({m_1}{m_2} = \dfrac{{ - 1}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.