Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Câu hỏi số 338658:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {\dfrac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + \dfrac{{{{\left( {5\sin x - 1} \right)}^2}}}{4} + 3\) có bao nhiêu cực trị trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\)?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338658

Phương pháp giải

Đặt \(t = \dfrac{{5\sin x - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \dfrac{{5\sin x - 1}}{2}\) ta có \(g\left( t \right) = 2f\left( t \right) + {t^2} + 3\).

Ta có: \(\forall x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow - 5 \le 5\sin x \le 5 \Leftrightarrow - 6 \le 5\sin x - 1 \le 4 \Leftrightarrow - 3 \le \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} \le 2\)

\( \Rightarrow - 3 \le t \le 2 \Leftrightarrow t \in \left[ { - 3;2} \right]\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = 2f\left( t \right) + {t^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) ta có:

\(g'\left( t \right) = 2f'\left( t \right) + 2t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) + t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - t\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = - t\) trên cùng hệ trục tọa độ \(Oxy\) ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trong đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\) đường thẳng \(y = - t\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) tại 4 điểm phân biệt và qua cả 4 điểm đó \(g'\left( t \right)\) đều đổi dấu, đó là các điểm \(t \in \left\{ { - 3; - 1;0;1} \right\}\).

+) \(t = - 3 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = - 3 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2}\).

+) \(t = - 1 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = - 1 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{{ - 1}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { - \dfrac{1}{5}} \right) + 2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( { - \dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

+) \(t = 0 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\\x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

+) \(t = 1 \Rightarrow \dfrac{{5\sin x - 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( {\dfrac{3}{5}} \right)\\x = \pi - \arcsin \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.