Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình sau có bốn nghiệm phân

Câu hỏi số 338657:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: \({x^4} - 16{x^2} + 8\left( {1 - m} \right)x - {m^2} + 2m - 1 = 0\).

A. 4

B. 7

C. 6

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338657

Phương pháp giải

+) Đặt \(1 - m = M\), coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn \(M\).

+) Giải phương trình bậc hai ẩn \(M\), tìm điều kiện của phương trình bậc hai ẩn \(M\) để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{x^4} - 16{x^2} + 8\left( {1 - m} \right)x - {m^2} + 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 16{x^2} + 8\left( {1 - m} \right)x - {\left( {1 - m} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 8x\left( {1 - m} \right) - {x^4} + 16{x^2} = 0\end{array}\)

Đặt \(1 - m = M\), phương trình trở thành \({M^2} - 8xM - {x^4} + 16{x^2} = 0\) (*).

\({\Delta _M}' = {\left( {4x} \right)^2} + {x^4} - 16{x^2} = {x^4} \ge 0\).

TH1: \(x = 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có nghiệm kép \(M = 4x = 0 \Leftrightarrow 1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Khi đó phương trình ban đầu trở thành: \({x^4} - 16{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 4\end{array} \right.\), phương trình có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m = 1\) không thỏa mãn.

TH2: \(x \ne 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}M = 4x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} + 4x - M = 0\,\,\left( 1 \right)\\M = 4x - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + M = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

(1), (2) là những phương trình bậc hai nên có tối đa 2 nghiệm.

Do đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 1 \right)}}' > 0\\{\Delta _{\left( 2 \right)}}' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + M > 0\\4 - M > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M > - 4\\M < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < M < 4\\ \Leftrightarrow - 4 < 1 - m < 4 \Leftrightarrow - 5 < - m < 3 \Leftrightarrow - 3 < m < 5\end{array}\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;2;3;4} \right\}\).

Thử lại: \(m = - 2 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2 \pm \sqrt 2 ;2 \pm \sqrt 6 } \right\}\) (tm).

\(m = - 1 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2 \pm \sqrt 6 ;2 \pm \sqrt 2 } \right\}\) (tm).

\(m = 0 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2 \pm \sqrt 5 ;2 \pm \sqrt 3 } \right\}\) (tm).

\(m = 2 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2 \pm \sqrt 3 ;2 \pm \sqrt 5 } \right\}\) (tm).

\(m = 3 \Rightarrow x \in \left\{ { - 2 \pm \sqrt 2 ;2 \pm \sqrt 6 } \right\}\) (tm).

\(m = 4 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1; - 3;2 \pm \sqrt 7 } \right\}\)(tm).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.