Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố \(a;\,\,b;\,\,c\) sao cho \(abc<ab+bc+ac\).

Câu hỏi số 338949:

Vận dụng

A. \(\left( {5;3;2} \right),\,\,\left( {3;2;1} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).

B. \(\left( {5;3;2} \right),\,\,\left( {3;2;2} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).

C. \(\left( {4;3;2} \right),\,\,\left( {3;3;2} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).

D. \(\left( {5;3;2} \right),\,\,\left( {3;3;2} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:338949

Phương pháp giải

Lập luận và đánh giá theo điều kiện cho trước: \(abc < ab + bc + ac\).

Giải chi tiết

Để không mất tính tổng quát giả sử: \(a \ge b \ge c \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le \dfrac{3}{c}\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(abc<ab+bc+ac\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(1<\dfrac{3}{c}\Leftrightarrow c<3\) \( \Rightarrow c = 2\).

Thay \(c = 2\) vào (2) ta được: \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow b \le 4\)

Mà b là số nguyên tố nên \(\left[ \begin{array}{l}b = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

+) Xét \(b=2\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố.

+) Xét \(b=3\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow a<6\)

Mà là số nguyên tố nên \(\left[ \matrix{ a = 3 \hfill \cr a = 5 \hfill \cr} \right.\).

Vậy bộ các số nguyên tố cần tìm là \(\left( {5;3;2} \right),\,\,\left( {3;3;2} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.