Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1

Câu hỏi số 340384:

Vận dụng

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1 + m}}{{x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) là \(\left( { - \infty ;a} \right]\). Khi đó \(a\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - 4; - 2} \right)\).

B. \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

C. \(\left( {0;2} \right)\).

D. \(\left( {1;3} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340384

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {4x + 1 - m} \right)\left( {x - m} \right) - 2{x^2} - \left( {1 - m} \right)x - 1 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{4{x^2} - 4mx + \left( {1 - m} \right)x - m + {m^2} - 2{x^2} - \left( {1 - m} \right)x - 1 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1 + m}}{{x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\\m \notin \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 1\end{array} \right.\)

Giải (*).

TH1: \(\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 2m - 1} \right) = 2{m^2} + 4m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2{\left( {m + 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow m = - 1\).

Khi đó \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\) (thỏa mãn).

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\), khi đó \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x_1} < {x_2} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m \le 2\\\frac{{{m^2} - 2m - 1}}{2} - 2m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 2m - 1 - 4m + 2 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 6m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3 + 2\sqrt 2 \\m \le 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

Kết hợp 2TH và điều kiện \(m \le 1 \Rightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2 \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;3 - 2\sqrt 2 } \right]\).

Vậy \(a = 3 - 2\sqrt 2 \in \left( {0;2} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.