Cho hai hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới,

Câu hỏi số 340385:

Vận dụng cao

Cho hai hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là \( - 3\) và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(3\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(f(x) \ge g(x) + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in {\rm{[}} - 3;3]\).

A. \(\left( { - \infty ;\frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}} \right]\).

B. \(\left[ {\frac{{12 - 10\sqrt 3 }}{9}; + \infty } \right)\).

C. \(\left( { - \infty ;\frac{{12 - 10\sqrt 3 }}{9}} \right]\).

D. \(\left[ {\frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340385

Phương pháp giải

+) Xác định hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).

+) \(h\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow m \le \mathop {min}\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\,\,\left( {boi\,\,2} \right)\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) được viết dưới dạng \(h\left( x \right) = a{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = - 1;\,\,g\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow f\left( 0 \right) - g\left( 0 \right) = 1\)

\( \Rightarrow - 27a = 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow h\left( x \right) = - \frac{1}{{27}}\left( {{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 36x - 27} \right)\)

\(\begin{array}{l}f(x) \ge g(x) + m\,\,\forall x \in \left[ { - 3;3} \right] \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left[ { - 3;3} \right]\\ \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right),\,\,h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \frac{1}{{27}}\left( {{x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 36x - 27} \right)\end{array}\)

Ta có \(h'\left( x \right) = \frac{1}{{27}}\left( {4{x^3} + 12{x^2} - 12x - 36} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \sqrt 3 \\x = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\(h\left( { - 3} \right) = 0,\,\,\,h\left( 3 \right) = 0,\,\,\,h\left( {\sqrt 3 } \right) = \frac{{12 + 8\sqrt 3 }}{9};\,\,h\left( { - \sqrt 3 } \right) = \frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right) = \frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow m \le \frac{{12 - 8\sqrt 3 }}{9}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.