Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 2\). Hai điểm A và B thay đổi trên \(\left( S \right)\) sao cho tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng \(AM + BN\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
\(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( {4;5;7} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \)
Do tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau nên \(\Delta IAB\) vuông cân tại I, có \(IA = IB = R = \sqrt 2 \)
Gọi E là trung điểm của AB \( \Rightarrow IE = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1\) \( \Rightarrow \) E di động trên mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm I bán kính \(r = 1\).
Gọi F là trung điểm MN; H, T, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, E, A lên (Oxy)
Ta có: EF là đường trung bình của hình thang ABNM (AM // BN) \( \Rightarrow AM + BN = 2.EF\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và (Oxy), \(\sin \varphi = \dfrac{{\left| {2.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 1 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)
\( \Rightarrow \sin \widehat {EFT} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow EF = \dfrac{{ET}}{{\sin \widehat {EFT}}} = \sqrt 6 .ET \Rightarrow AM + BN = 2\sqrt 6 .ET\)
Tổng \(AM + BN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow ET\) lớn nhất.
Ta có: \(d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 7\); \(E{T_{\max }} = r + d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1 + 7 = 8\)
\( \Rightarrow {\left( {AM + BN} \right)_{\max }} = 16\sqrt 6 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
