Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và

Câu hỏi số 342028:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 2\). Hai điểm A và B thay đổi trên \(\left( S \right)\) sao cho tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng A song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt mặt phẳng (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng \(AM + BN\).

A. \(16\sqrt 6 \).

B. \(8\sqrt 6 \).

C. \(7\sqrt 6 + 5\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt {20} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342028

Giải chi tiết

\(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 2\) có tâm \(I\left( {4;5;7} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \)

Do tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại A và B vuông góc với nhau nên \(\Delta IAB\) vuông cân tại I, có \(IA = IB = R = \sqrt 2 \)

Gọi E là trung điểm của AB \( \Rightarrow IE = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1\) \( \Rightarrow \) E di động trên mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm I bán kính \(r = 1\).

Gọi F là trung điểm MN; H, T, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, E, A lên (Oxy)

Ta có: EF là đường trung bình của hình thang ABNM (AM // BN) \( \Rightarrow AM + BN = 2.EF\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng d và (Oxy), \(\sin \varphi = \dfrac{{\left| {2.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 1 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {EFT} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow EF = \dfrac{{ET}}{{\sin \widehat {EFT}}} = \sqrt 6 .ET \Rightarrow AM + BN = 2\sqrt 6 .ET\)

Tổng \(AM + BN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow ET\) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 7\); \(E{T_{\max }} = r + d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1 + 7 = 8\)

\( \Rightarrow {\left( {AM + BN} \right)_{\max }} = 16\sqrt 6 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.