Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left(

Câu hỏi số 342027:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;1;2} \right),C\left( {2;1;5} \right)\) và điểm D thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z + 10 = 0\). Biết các đường cao của tứ diện đồng quy, tính độ dài đoạn thẳng O

A. \(\sqrt {650} \).

B. \(\sqrt {260} \).

C. \(\sqrt {10} \).

D. \(\sqrt {20} \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342027

Giải chi tiết

Giả sử ba đường cao của tứ diện đồng quy tại H. Gọi K là giao điểm của DH và (ABC).

Dễ dàng chứng minh được K là trực tâm tam giác ABC, đồng thời, DH là giao tuyến d của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\), trong đó, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua A vuông góc BC, \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua B vuông góc AC.

\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;0;3} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right): - 1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3z + 8 = 0\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;2} \right) \Rightarrow \)\(\left( \beta \right):1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2z - 6 = 0\)

\(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x - 3z + 8 = 0\\x - y + 2z - 6 = 0\end{array} \right.\) đi qua điểm \(M\left( { - 8; - 14;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;5;1} \right)\), có phương trình tham số là: \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 8 + 3t\\y = - 14 + 5t\\z = t\end{array} \right.\)

Khi đó, \(D = d \cap \left( P \right)\). Giả sử \(D\left( { - 8 + 3t; - 14 + 5t;t} \right) \Rightarrow \)\(3\left( { - 8 + 3t} \right) - \left( { - 14 + 5t} \right) + t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 0\)

\( \Rightarrow D\left( { - 8; - 14;0} \right) \Rightarrow OD = \sqrt {{8^2} + {{14}^2} + 0} = \sqrt {260} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.