Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SD = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\).

Câu hỏi số 344391:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SD = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của đoạn thẳng \(AB\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(HE\) và \(SB\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(\dfrac{a}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344391

Phương pháp giải

Chuyển từ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( \to \) tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song \( \to \) tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Giải chi tiết

Ta có: \(HE//\left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {HE;SB} \right) = d\left( {HE;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Gọi O là tâm của hình vuông, I là trung điểm của BO.

\( \Rightarrow HI//AC\), mà \(BD \bot AC \Rightarrow HI \bot BD\)

Mà \(SH \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BD \bot HK\) \(\left( {K \in SI,\,\,HK \bot SI} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HK\)

\(HD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2},\,\,SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {\dfrac{{17{a^2}}}{4} - \dfrac{{5{a^2}}}{4}} = a\sqrt 3 \)

\(HI = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{8}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}\)

Vậy \(d\left( {HE;SB} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{5}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.