Biết phương trình \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) nhận

Câu hỏi số 345649:

Vận dụng

Biết phương trình \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) nhận \({z_1} = - 1 + i\) và \({z_2} = 1 + \sqrt 2 i\) là nghiệm. Tính \(a + b + c + d\).

A. \(10\)

B. \(9\)

C. \( - 7\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345649

Phương pháp giải

Nhận xét: Phương trình đã cho nhận hai số phức \({z_1},{z_2}\) làm nghiệm thì cũng nhận \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} \) làm nghiệm.

- Tính \(m = {z_1} + \overline {{z_1}} ,n = {z_1}\overline {{z_1}} \) và \(p = {z_2} + \overline {{z_2}} ,q = {z_2}\overline {{z_2}} \) .

- Khi đó suy ra phương trình tương đương \(\left( {{x^2} - mx + n} \right)\left( {{x^2} - px + q} \right) = 0\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c,d\) và kết luận.

Giải chi tiết

Nhận xét: Phương trình đã cho nhận \({z_1},{z_2}\) làm nghiệm thì cũng nhận \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} \) làm nghiệm.

Khi đó \({z_1} = - 1 + i \Rightarrow \overline {{z_1}} = - 1 - i \Rightarrow m = {z_1} + \overline {{z_1}} = - 2,n = {z_1}\overline {{z_1}} = 2\).

\({z_2} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow p = {z_2} + \overline {{z_2}} = 2,q = {z_2}\overline {{z_2}} = 3\).

Vậy phương trình đã cho tương đương \(\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 2x + 6 = 0\)

Do đó \(a = 0,b = 1,c = 2,d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.