Biết rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = a

Câu hỏi số 345663:

Vận dụng

Biết rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx = a + \ln b} \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(2a + 3b\) bằng

A. \(3\)

B. \(5\)

C. \(6\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345663

Phương pháp giải

Biến đổi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) để đổi biến số \(t = \sin x - \cos x + 3\) hoặc đưa vào vi phân: \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx\)

Giải chi tiết

Ta có

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x + 3} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(\sin x - \cos x + 3 = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\cos x + \sin x} \right)dx = dt\\\cos x - \sin x = 3 - t\end{array} \right.\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 2;\,x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = 3\)

Suy ra \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{\left( {3 - t} \right)dt}}{{{t^2}}} = \int\limits_2^3 {\left( {\dfrac{3}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} = \left. {\left( { - \dfrac{3}{t} - \ln \left| t \right|} \right)} \right|_2^3} = \dfrac{1}{2} + \ln 2 - \ln 3 = \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{2}{3}\)

Hay \(a = \dfrac{1}{2};b = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 2a + 3b = 3.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.